복소평면을 사용해 복소수를 지수함수로 표현하는 방법
아름다운 그림이다. 잠시 감상 시간을 가져보자…
복소평면은 극좌표계의 일종이다.
극좌표계에 대한 설명은 검색을 해보면 수두룩하게 나오니, 간략하게만 설명해보겠다.
x-y plain에서 반지름이 \(r\)이고 중심이 원점인 원을 그리자.
이후 동경과 x-axis의 양의 방향이 이루는 각을 \(\theta\)라 하면, 다음과 같은 식이 성립한다.
\[ \begin{aligned} a &= r\cos\theta \\ b &= r\sin\theta \end{aligned} \]
이는 삼각함수의 정의에 의해 자명하다.
극좌표계란, 우리에게 익숙한 \((x,y)\)좌표값을, \((x,y)\rightarrow(r,\theta)\) 좌표값으로 표현하는 것을 의미한다.
그렇게 어렵지 않고, 수많은 좌표계 중 하나이다. (원통형 좌표계, 구면 좌표계 등이 calculus 1 에서 추가로 배우는 것들이다.)
복소평면은 \(Re-Im\) plain을 의미한다. 즉 x축은 실수부의 값에 대응되고, y축은 허수부의 값에 대응되는 평면이다.
흔히 복소수를 \(z=a+bi\ \left(a,b\in\mathbb{R}\right)\)로 표현하는데, 복소평면에서 \((a,b)\)가 바로 \(z=a+bi\)를 의미하게 된다.
결국 임의의 복소수의 값이 두 실수 \(a,b\)에 의해 결정된다는 점을 이용해서, 좌표평면에 복소수를 대응시킨 점이 신기하지 않는가? 나만 신기했다면 어쩔 수 없다 ㅎㅎ.
이제 주제로 돌아와서, 반지름이 r인 원을 복소평면에 그리자.
그러면 자명하게, 아래와 같은 식이 성립한다.
\[ z=a+bi \\ r=\sqrt{a^2+b^2} \\ a=r\cos\theta \\ b=r\sin\theta \]
이 때 우리가 오일러 공식을 알고 넘어가야 하는데, 증명은 검색을 해보도록 하고…
(테일러 급수와 오일러 공식을 둘 다 검색해야 한다. 테일러 급수로 오일러 공식을 증명하기 때문)
Euler Formula: \(e^{\left(i\theta\right)}=\cos\theta+i\sin\theta\)
이것도 참 신기하고 아름다운 공식이지만, 여기서는 넘어가도록 하겠다.
이제, 위의 두 결과를 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} z &= a+bi \\ &= r\cos\theta+\left(r\sin\theta\right)i = r\left[\cos\theta+i\sin\theta\right] \\ & =re^{i\theta} \end{aligned} \]
이제 우리는 임의의 복소수 \(z=a+bi\)를, exponential 지수함수를 이용해서 표현할 수 있다. 끝.